3、最小角回归模型
最小角回归模型与逐步回归模型相似，也是从相关性出发，选择重要的因子。 不同之处是在逐步回归中，每一步我们都是单独考察一个因子与因变量的相关性， 对于已添加的因子，我们不再跟踪它们与因变量的关系；而在最小角回归中，我们 会时刻跟踪已添加因子与因变量的相关性。具体步骤如下：
 
(1)从空模型开始，首先选择与因变量相关性最高的因子xk;
(2 )令a从0开始逐渐增大，记录对应的残差向量y - axk以及每个因子与此残差的相 关性Correa)，直到找到一个^使得存在〇〇叫(而）=。〇^1(而)，对应的xi为第二个选 择的因子；
(3)把y-aixk作为新的因变量，Xk + Xi作为新的因子取代原来的两个因子，然后 重复上面的过程，直到全部因子都被选择进去。
 
这个方法在选因子的过程中没有设置类似逐步回归的停止准则，而是把所有变 量按相关性的顺序逐个加入到模型当中。通过最小角回归我们可以知道所有因子重 要性排序，但不知道选择多少个因子出来；而逐步回归为我们提供了哪些因子应该 被选出来。尽管两个模型选择因子的顺序可能不一样，我们仍然能够综合两者提供 的信息以及进一步的分析完成我们的归因分析流程。
 
 • 计算结果 

考虑到截面数据受不变因子和长期因子的影响比较明显，短期因子在截面回归 中难以体现其重要性，所以我们暂时把短期因子从数据中剔除，最终我们处理完的 数据包含195个样本和12个因子（包含衍生因子），首先对数据应用逐步回归模型， 得到下表的结果：

 
逐步回归模型最终选出了三个因子，按选择的顺序分别为产品成立时间、基金 公司指数产品数量、指数类型（由于原始因子已转化为两个衍生因子，逐步回归中 把它们当作一个整体进行考虑）。从回归系数来看，除了指数类型，其它两个数值 型因子对应的回归系数都是正数，由此说明了它们与基金规模都存在正相关性。
 
接下来我们对数据应用最小角回归，模型会给我们输出因子选择的顺序，以及 整个过程中每个因子回归系数的变化（未被选择的因子回归系数为0 )。图11展示了 回归系数的变化：
 

因子选进模型的顺序为：产品成立时间，基金公司指数产品数量，基金公司非 指数权益规模，指数类型2，指数类型1，第几只跟踪相同标的指数产品，是否为ETF， 是否有连接基金，基金费率，基金公司布局指数产品时间，现任基金经理性别，基 金经理从业年限。上图是回归系数的变化过程。可以看到，前四个选进模型的因子 包括了逐步回归选出的三个因子（由于指数类型需要把对应的因子作为一个整体考 虑，所以只要其中一个衍生因子被选入，则原始的因子就被选入）。从回归系数变 化图可以看到，除了指数类型，前三个选进模型的因子对应的回归系数一直在正值 变化，进一步印证了这些因子与基金规模存在正相关关系。最小角回归比逐步回归 多选出了一个因子：基金公司非指数权益规模，该因子与基金公司指数产品数量的 相关性为0.55。由于最小角回归不像逐步回归一样对因子个数有所限制，所以相关 性强的因子会排在前面。最后考虑到对基金规模的解释性，我们认为基金公司非指数权益规模反映了公司平台大小，也是一个对规模具有重要影响的因子。
 
综合两个线性模型的结果，我们判断对指数基金长期规模影响较大的几个因子 包括：产品成立时间、基金公司指数产品数量、基金公司非指数权益规模、跟踪指 数类型。
 
四、指数产品规模变化归因分析：从时间序列维度 

上述截面分析采用2018年6月30日的数据。截面回归的结果可以说明因变量与 自变量之间的共同变动关系，但无法说明两者具备因果关系。因此这一部分，我们 再从时间序列的角度对规模短期变动进行归因分析，看看哪些因素的变化会导致短 期规模大幅增长。
 
(一）数据处理
短期因子主要包括历史业绩表现和基金公司营销费用。