文/姚斌
在《肥尾效应》中，纳西姆·塔勒布从大数定律、中心极限定律、中数理论和极值理论等等的角度全新审视了每一个基础定理，并利用源自计量金融学的肥尾实践，进行重新的诠释。
■ 呈现必然性的大数定律
因为《肥尾效应》的副标题是“前渐进论、认识论和应用”，我曾经通过点拾投资的朱昂先生向《肥尾效应》的中译者戴国晨先生请教“前渐进论”的具体含义。他的答复是，“前渐进论”是塔勒布的生造词。其意是，大数定律具备渐进收敛的特征，而肥尾的真实世界收敛很慢，我们可能终其一生都等不到，于是就加了一个“前”字，即我们的人生在收敛以前展开。
首先明确何为“大数定律”。大数定律最早来自雅各布·伯努利的证明。伯努利大数定律的本质是，试验的次数越多，频率接近真实概率的可能性越大，即“频率接近比率”。大数定律是在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律。偶然中包含着某种必然。大数定律在随机试验中，每次出现的结果不同，但在大量重复试验出现的结果的平均值却几乎总是接近于某个确定的值。其原因是，在大量的观察试验中，个别的、偶然的因素影响而产生的差异将会相互抵消，从而使现象的必然规律性显示出来。例如，观察个别或少数家庭的婴儿出生情况，发现有的生男，有的生女，没有一定的规律性，但是通过大量的观察就会发现，男婴和女婴占婴儿总数的比重均会趋于50%。
大数定律的重大意义在于，它揭示了因偶然性的作用而呈现的杂乱无章现象中的一种规律性，或简单地说，在混乱中找到了一种秩序。大数定律解答了为何能以某件事发生的频率作为该事件概率的统计，以及为何能以样本的均值做为总体期望的估计。它反映了我们的世界的一个基本规律：在一个包含众多个体的大群体中，由于偶然性而产生的个体差异，着眼在一个个的个体上看，是杂乱无章、毫无规律、难以预测的，但由于大数定律的作用，整个群体却能呈现某种稳定的形态。
当事件可以在同样条件下多次重复观察时，该事件的概率可由其出现的频率决定。但是，有时即便拥有某个事件的全部数据，也不一定就足够大，最多只是“局部频率”而已，并不等于真实概率，可能让我们穷尽一生都看不到。因此可以说，在现实世界中，大数定律即便有效，但其奏效速度也会很慢。
如果是这样，可能必然是这样，那么样本均值大概率不会贴近分布的实际均值，尤其是遇到偏态分布（或单尾分布）时，均值的估计量会持续被小样本效应主导（即被低估或高估）。在此情况下，方差和标准差这样的统计量是不可用的。只有在最理想的情况下，标准差才能勉强地正确估计离散程度。而贝塔系数、夏普比率和其他惯用的金融统计量均无参考意义。
如果依赖这些统计量，我们要么需要更多的数据，要么需要某种尚未被发现的模型。实际上，所有经济金融领域的变量和证券回报都是厚尾分布的。统计研究超过4万只证券的时间序列，发现没有一只满足薄尾分布，这也是经济金融研究中最大的误区。稳健统计并不稳健，经验估计会超出经验。在厚尾分布下，过去极大值和未来期望极大值的差异会远远大于薄尾。在厚尾条件下，破产问题的严重性更甚，同时需要考虑遍历性。所谓的薄尾是指正态分布；所谓的厚尾是指比正态分布峰度更高的分布。而所谓的肥尾，塔勒布将其限定于幂律或正规变化。肥尾从严格意义上说，更像极度厚尾。
■ 尾部事件的颠覆性和破坏性
塔勒布在《肥尾效应》这本书中展现了对极端不确定性的数学理解，之前几部著作描述的大多是现象，而这本书呈现的是底层逻辑。《黑天鹅》告诉我们尾部存在，罕见又极具颠覆性，而《肥尾效应》则真正描画出了它的样貌。理解“肥尾现象”最好的方式是在真实世界中面对风险，因为人生只有一次，直面不确定性以后，就会发现把罕见事件纳入考量非常必要。之后再做数学化的拓展和提炼，去看尾部究竟是什么样的，《肥尾效应》的价值也会逐步呈现出来。
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塔勒布“黑天鹅”的本意确实和大众所理解的不同，大众的理解扩大了黑天鹅的范围，把罕见事件都包括在里面。但实际上黑天鹅真正指代的是罕见到超出统计认知的事件，也即“未知的未知”，而非“已知的未知”。所以严格来说，爆发于2019年底的新冠疫情本身并不算是黑天鹅，只是过去诸多大流行病的一次重演，但是因为现代文明体系的复杂性，疫情所带来的一些冲击是历史未见的，这里面会存在黑天鹅现象，比如美股从未有过的多次熔断。
2020年，塔勒布在担任顾问的 Universa 基金受益于疫情带来的市场冲击，获得了很高的回报。但对投资者而言，不应该只看到高回报的数字，因为该基金的收益结构和常规持有资产不同，更类似于购买健康保险，比如平时支出保费，在遇到重疾时一次性获得100万元的补偿，也正是因为设计了这种保险结构，在危机时能为投资者提供极高的收益。塔勒布在投资中提倡杠铃的配置模式，在保持冗余和安全的前提下，让组合受益于小概率事件，这里包括正向尾部（爆发式增长）和负向尾部（危机），所以在危机中我们会看到它的突出表现，但收益来源不仅限于危机。
对于投资者而言，理解尾部事件的颠覆性和破坏性具备非常大的价值。投资者进入市场以后，每天都在和不确定性搏斗，我们一定不希望在某个节点被风险事件摧毁。“让飞行员知道飞机存在问题是可以救命的”，塔勒布的思想体系指出的正是飞机的问题——把肥尾当成薄尾的危险性。历史上，号称最安全的协和飞机，在飞行了8万次以后遭遇坠机，结果统计其失事的概率一下子变成万分之八，协和飞机成为了史上最不安全的飞机。在面对肥尾风险时，投资者不应该采用脆弱状态，不然总会有“坠毁”的一天。在实践中，具体的投资方法需要和性格适配，持续下注小概率事件。一方面需要市场判断力和对工具的定价能力，另一方面也需要坚定的心性。毕竟小概率事件如果只看几次，大概率不会发生。
长期投资的基本前提之一是复利效应，可能有人认为肥尾现象会阻碍人们获取复利效应，因为收益率在方向上的效果是不对称的，下跌50%以后需要上涨100%才能回到原点，所以每一次负向尾部都会对长期复利效应造成冲击。但反过来说，肥尾只是过程中的一种现象，并不会在大方向上改变资产的潜力和内在价值。我们可以看到像苹果、亚马逊这样的百倍明星公司都曾经历过50%以上的负向尾部，所以肥尾不会摧毁复利效应，也不会证伪长期持有的模式，但是会让过程变得难以忍受。
市场中的投资流派有无数，而塔勒布的投资理念则是其中非常独到的一支，比较反直觉，但也能带来很好的收益。实际上，尾部思想是主流投资理念非常好的补充，我们所看到的知名投资者在实践中大多都会兼顾尾部，对风险抱有敬畏之心。尾部指的是罕见事件。
■ 等不到“前渐进论”的收敛
戴国晨在解读《肥尾效应》时指出，在生活当中，肥尾往往代表了一种集中的程度。比如研究一个国家的总财富有多少掌握在最富有的个人手里这个问题，一次对某个事物的观察会带来多少确定的判断？额外的观察在多大程度上能够提高结论的可靠性？同样的问题也适用在投资组合当中增加额外的证券等情形下进行决策。
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在投资组合中，添加证券与为统计显著性的目的添加额外观察具有相同的“稳定”效果。此时“你需要多少数据？”就翻译成“你需要多少证券？”。很显然，现代金融学中的马科维茨分配方法（马科维茨自己似乎没有用它来指导自己的投资组合）只适用于接近0的 kappa ( 即高斯分布的情形 ) ，这很容易低估尾部风险。接近“80/20”的帕累托分布需要比高斯分布多10^9个观测值——考虑到如果使用现代投资组合标准，这种分布下的投资组合风险将被低估至少8个数量级。而从峰度的简单标准来看，实际上，没有一种金融证券不比高斯的尾部更肥，这就意味着马科维茨的投资组合配置永远不是最佳解决方案。
标普500指数的 kappa 在0.2左右，但我们需要考虑到，它本身就是一篮子n=500的证券，尽管没有权重，但由于成员之间的相关性，使得稳定的股票权重过高。相比之下，单只股票的 kappa 值均介于0.3和0.7之间，这意味着“过度多元化”的策略是必须的，简言之，一个同等权重的投资组合在很多指标上都优于标普500。
过去的极值（最大值或最小值）并不能很好地预测未来的极值——这被称之为“卢克莱修谬论”：即傻瓜相信那里最长的河流和最高的山就是他亲眼见过的最长的河流和最高的山。1910年巴黎出现了洪水的最高水位。但我们必须思考，这一历史记录在将来有一天会被打破。而风险管理者应该思考，高出这一水位线多少的时候，就应该寻求保护，而不是一次次地重复卢克莱修谬论。
从细尾到肥尾绝不仅仅是换一件衣裳这般简单。这意味着很多事情都发生了改变。比如大数定律缓慢的收敛，缺少样本均值或更高的矩消失，遍历性的问题等等。标普500的峰度是极其不稳定的，在56年的标普500观测数据当中，一个数据点构成了贡献了接近80%的峰度信息。其它社会经济变量，比如黄金、石油、白银、股市、软商品等，也存在着类似的影响。这种峰度的样本严重的依赖性正意味着峰度不具备稳定性。大数定律在标普500上失效了。
不管是参数方法，还是稳健统计，计量经济学当中总有一些广泛使用的理论，从根本上说就是错误的——这些方法都不够可靠，并可以用于风险决策。这当中包含了几乎所有基于平方的变量：标准差、方差、相关性、回归，甚至所谓的“P值”，以及数学金融中使用的更复杂的GARCH、风险价值、随机微积分技术，对于经济和金融变量它们没有任何现实意义。我们需要面对这样一个残酷的事实：这些指标都是错误的和虚假的。
伯努瓦·曼德尔布罗特曾经一度认为，任何东西都适合泊松跳跃（Poisson Jump）。但是，泊松跳跃是细尾的。许多研究人员引用“异常值”或“比索问题”（Peso Problem）承认胖尾的存在，但却在分析上忽略了它们。许多原本发明出来的分析和策略都可能被尾部时间破坏，在胖尾的视角下，正确的做法是要围绕异常值构建一个全新的体系，而不是孤立甚至忽视异常值的存在。保留极端情况是风险管理唯一合理的方法。没有什么好解释的，这就是现实。
■ 只要有归零风险就不参与
肥尾效应会带来一些后果：现实世界中大数定律可能有效，不断加入新的样本后均值会逐渐收敛到理论均值，但是会收敛得太慢。由于样本规模的问题，样本均值一般总是会偏离分布均值，尤其是在不对称分布中。在金融领域所有的分布都是肥尾分布，一些统计量如方差和标准差并不可信，由此衍生出的 beta 、夏普比率、协方差矩阵等金融量也不可信。在2008年金融危机中，基金损失惨重，可以看到历史波动对规避未来损失并无预测作用，在危机中很多基金出现了10个“标准差”以外的损失。
稳健统计并不稳健（修正极值会导致信息丧失），经验分布的经验有限（最糟情况会超出经验）。证实和证伪人们经验的难度比想象的要大。主成分分析和因子分析会失效，肥尾条件下为得到稳定结果所需的样本量极大。对极端情况下发生的损失量级很难进行估计。在高斯分布下 CVAR 等极端统计量还有一定意义，而肥尾分布中出现的损失可能会大到超出想象。
如果是重视概率、忽视赔付，那么在肥尾条件下会导致更大的问题。现实世界中的回报并不是基于概率，而是基于赔付，但是人们在直观上更在意概率预测。一个例子是交易员预测市场上涨，但是做空市场——因为上涨空间有限而下跌空间巨大。同样的道理，一个大概率赔钱的策略不一定是糟糕的策略，只要没有破产风险且小概率能获得巨大收益即可；而一个胜率99.99%的策略也不一定是好策略，如果不能完全规避破产风险前期盈利都会归零，如长期资本管理公司。
我们无法直接观察到统计分布，只能通过结果进行推测：统计分布无法保证结果与其一致；需要通过元概率来研究尾部事件。推测统计分布的难度是不对称的。罪犯伪装普通人比普通人伪装罪犯要容易得多，肥尾分布也很容易在小样本下“伪装”成薄尾分布，但薄尾分布几乎不可能呈现出肥尾特征。如果我们观测到一个20倍标准差的事件，可以确定该分布是肥尾分布，但如果没有观测到极端事件却不能确定分布为薄尾。观测到多少只白天鹅能够估计未来黑天鹅出现的概率？再大的样本都不能，而一旦出现一只黑天鹅会让认知瞬间出现巨大变动。
对于帕累托80/20分布，我们需要10^11量级的数据，均值才能达到正态分布30个样本的精度，也就是说在肥尾分布中，对有限的样本求均值来进行统计估计几乎毫无意义。阿根廷股市的表现以及2019年8月12日之前和之后的回报分布，之前多年的平缓上涨隐藏了分布的真实尾部，一个单日暴跌就大幅改变了尾部 alpha 值（从4.35到2.48）。
因为存在破产事件，财富这一变量在时间维度上存在路径依赖。对于赌场来说，每个人在场内下注是独立的，大数定律最终会起作用，而对于赌客来说，财富会依赖过去的路径，哪怕期望为正，一旦破产游戏就截断了。人们往往只重视灾难单次发生的小概率，但忽略了在重复游戏中风险会不断累积，只有在将破产风险严格控制为零，才能让自身在长期得以存活。如巴菲特左轮手枪的例子，子弹只一发，在头上开一枪可以获得100万美元，是否值得参与这样的游戏呢？可能有人会愿意为了钱冒险，但是对于成功的风险管理者来说，只要有归零风险就不应该参与游戏。
幂律分布可以近似描述大量真实世界的现象，如市场波动、财富分配、流量效应、灾难损失等等。这些随机事件的尾部都具备幂律特征，在对数坐标系下生存函数以直线形式下降。这是极为神奇的现象，从标普500指数的尾部收益率到大型战争的极端伤亡人数，横跨不同领域的风险事件在肥尾的数学框架中得到了统一。二八定律周而复始的出现，映照出世界背后的底层逻辑：均衡不过是奢望，极端才是常态。
在标普500指数的收益率分布中，可以看到随着周期拉长，收益率峰度逐渐下降，呈现出缓慢的中心极限定理。这也是很多金融产品的共同特点：短期市场总是过度反应，收益率服从幂律尾分布，长期则回归理性，收益率逐渐向正态靠拢。这样的回报特点会给不同策略的鲁棒性带来巨大差异。价值投资聚焦长期，结果随着周期延长变得愈发稳定，而市场上林林总总的短期策略则极大地暴露在尾部风险中。在幂律尾分布下，历史极值或条件均值的风险视角有着巨大缺陷，尚未发生的尾部事件可能会极大的影响整体统计性质。因此，任何短期策略想要长期存活，必须在极端条件下保护自身。