文/姚斌
黄黎原教授指出，我们应该先以游戏、谜题和逻辑悖论等能吸引学生的形式来引入教学，之后再向他们解释这些内容都是更普遍的理论的应用事例。何谓悖论？在《推理的迷宫》中，威廉·庞德斯通将其定义为：悖论从一系列合理的前提出发，从这些前提推演出一个结论来颠覆其前提。悖论是对证明的模仿和嘲弄，它通过一个微妙而隐蔽的推理错误，生成一个矛盾。
最好的悖论能展示出这样一些问题：什么样的矛盾可能发生？什么样的不可思议之事是有可能发生的？阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯在他的短篇小说中揭示了大量此类问题。在《特兰，乌克巴，奥尔比斯·特尔提乌斯》中，博尔赫斯描述了一部百科全书，此书是一群作者精心泡制的恶作剧，却被当做来自另一个世界的著作。这些学者甚至设计了那个虚构世界中的最伟大的悖论——“九枚铜币”。在他们看来，九枚铜币是真正的悖论，无法彻底消除。但在其他世界的人看来，特兰人的悖论不过是平淡无奇的事情。
20世纪70年代，计算机科学家斯蒂芬·库克和理查德·卡普的两篇开创性论文表明，许多类型各异的抽象的逻辑问题其实是同一个问题伪装成的不同形式。这些问题都等价于可满足性问题，即识别悖论的问题。与可满足性问题等价的这类问题被称为“NP完全问题”。其中包括旅行推销员问题(一个古老的数学谜题)、哈密顿回路问题(起源于一种流行于19世纪的智力玩具，魔方的前身)；也包括了迷宫、密码、填字游戏、谜题、智力题，都可以概括为NP完全问题。
“NP完全”是“非确定性多项式时间完全”的英语缩写。NP完全是一个非常难以理解的抽象说法。NP完全问题是30年来始终困惑着计算机程序员的一类问题。旅行推销员问题即为一例：一个推销员必须到达几个城市，城市之间的距离已知，要求为推销员设计一条最短路线。这个问题击败了最强大的计算机。
NP完全问题是一个宇宙之谜，当我们以有限的心灵面对复杂度呈指数增长的辽阔宇宙时，世界的不可思议便通过NP完全问题得到了充分的展示。于是，悖论的深刻性和普遍性超出了前人的想象，它是科学哲学的一根支柱。从某种意义上说，所有证实理论和认识论领域内的著名悖论都是智力游戏的产物。
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在科学中有一条美学标准。在很大程度上，一个理论的“美”取决于其简单性。一个可以给出大量解释的简单理论优于一个给出少量解释的复杂理论，即使事实也许没有其他任何具体的理由令我们相信，复杂理论的正确性逊于简单理论。这个重要原则被称为“奥卡姆剃刀”，其名称源自14世纪的威廉·奥卡姆。奥卡姆因为“如无必要，勿增实体”这句名言而广为人知。
作家亚历山大·小仲马说：“所有全称命题都是危险的，包括本命题在内。”因而，即使奥卡姆剃刀也会产生谬误，它经常选择错误的假说。地球是圆的吗？微生物是致病的原因吗？我们现在知道这些假说可以很好解释我们观察到的一些结果，但在某些时候奥卡姆剃刀的原则却拒斥这些假说。一个误用怀疑精神的著名例子是，法国科学院曾经长期拒绝承认陨石的真实性，欧洲的博物馆根据最“科学”的建议，把许多陨石当作迷信的糟粕抛弃了。
于是，我们遇到了证实理论中最麻烦的问题之一。每一个科学发现都会经历这样的阶段，两个相互竞争的理论对观察结果提出同样好的解释。其中一个比较简单，大家长期以来相信它，而另一个是新理论需要假定新的实体。例如，前者代表克罗狄斯·托勒密的地心说，后者代表尼古拉·哥白尼的日心说。
正如天文学家卡尔·萨根指出的，关于证实有一条非常重要但通常我们意识不到的规则在起作用，一条假说越是令人惊异，证实它所需要的证据就越多。之所以这样，原因在于，一个平凡的假说已经部分地被我们先前的、关于相似事件的知识所证实，而一个离奇的假说则不然。但是，我们必须面对这样一种可能性：我们错误地接受了一连串平凡但不正确的假说，却抛弃了不那么平凡的真理。
一种理论之所以破产，最常见的原因不是反面证据的出现，而是自身证据的疑点。如果一种理论拥有大量的支持性“证据”，但每个证据都是可疑的，那么这个理论一定存在一些错误。鬼的“存在”就属于这种情况，反之磷火在某些时候所有人都看得见。因此，科学家相信磷火但不会相信鬼。
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哲学的一个主要部分是，确定关于世界的哪些问题是有意义的。有两个相互竞争的哲学流派，一是实在论，一是反实在论。实在论认为，外部世界的存在独立于人类对世界的认知与观察，在我们认知范围之外的真理是存在的。这不仅包括我们目前不知道的真理以及我们也许不可能认识的真理，而且还包括那些我们无论如何也不可能知道的真理。实在论者说，这些真理总是存在的。常识基本上属于实在论。反实在论则认为，只有那些可以通过观察或实验确定的问题，才是有意义的。反实在论反对设定未经观察并且不可观察的对象。但是，反实在论轻率地断言现在不为我们所知的东西，将来我们也不会知道。这种观点总是危险的。
“未知”和“不可知”之间的差异可以极其微妙。没有人知道作家查尔斯·狄更斯的血型，但大多数人都会同意，狄更斯是一定属于某种血型的。相反，每个人都能看出“大卫·科波菲尔的血型是什么”这类问题是毫无意义的。因为这个小说中虚构的人物，他的存在仅根源于狄更斯的构想，而狄更斯在他的故事里并没有提供这方面的信息，所以这个问题是无意义的。
许多截然不同的假说都能与经验相一致。亨利·庞加莱说，这样的假说有无穷多。依赖科学方法无法确定其中一种而把其它可能性屏除。这些假设都是不可证的，采纳其中的某些假设对于我们来说更加便利，但这并不意味着这是假说更加真实。“完全独立于精神的实在是不可能的，精神会思考、观察和感受实在。一个如此外在的世界即使存在，也永远无法为我们所知。严格说来，我们称为‘客观实在’的东西，其实是所有人共同接受(或可能共同接受)的若干思想的共同部分。我们将发现，这个共同部分只能是以数学规律表达的和声。”
在验证各个完全假说的过程中，我们的目标是找矛盾，换句话说，我们在使用归谬法。在柯南·道尔的《四签名》中，歇洛克·福尔摩斯说道：“我跟你说过多少遍了，在我们排除了所有不可能的情况以后，剩下的情况——无论多么不可思议——一定是真的。”应用排除法可以解决许多类型的问题，但它并非总是切实可行的。麻烦在于，排除的过程是缓慢的，这是因为需要检验完全假设数量经常是无比巨大的。
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逻辑谜题是我们用以理解世界的演绎推理的缩影。在演绎推理中，基本原则与主观性的因素无关。逻辑谜题和悖论之间有着深刻的联系。面对一个谜题，我们可以提出许多假说，其中一个可以避免矛盾，这个假说就是答案。但在悖论中，所有假说都是不合理的。
逻辑谜题涉及了一个被称为“复杂性理论”的数理逻辑分支。复杂性理论在客观抽象的程度上研究“一个问题会困难到什么程度”。计算机程序员根据经验发现，用计算机处理某些类型的问题要比处理其他类型的问题困难得多，这一发现催生了复杂性理论。如果复杂性理论只应用于计算机，那它的用处就小得多。实际上，这个理论同样可以应用于人类解决问题的过程。一个人解决问题必须依赖方法，方法正是复杂性理论关注的焦点。
寻找一个客观标准来衡量一个问题的困难程度，达到这个目标看起来也许是徒劳的。大多数在真实事件中出现的问题都是这样：一些人觉得容易，另一些人觉得困难。许多问题的解决依赖于在问题和其他的特定事实之间建立的各种各样的思想联系。我们或者能建立起联系，或者不能。某些谜题需要建立特定的思想联系，从某种角度说，这类问题是最困难的一类逻辑谜题，因为如何去借一点儿道理也讲不出。换一个角度说，这类问题又是最容易的，一段联系建立好就一点难度也没有了。
复杂性理论最关心这样的问题：即使存在程序化的解法，问题也是难解的。有些问题在本质上是困难的，不仅人类无法解决，科学幻想中遥远的未来计算机也解决不了，但这些问题是可解的，它们不是悖论，也不是没有解的骗人的问题。
复杂性理论的一个核心概念是“算法”。算法是处理某问题的一个确定的、机械的程序。它是一套完备的指令，在执行过程中，洞察力、直觉和想象力都是不需要的。所有计算机程序都是算法。做蔬菜汤的菜谱、装配自行车的操作指南、许多简单游戏的规则等等，这些都是算法的例子。在小学里教的算术规则也是算法。我们知道，当我们把两个数相加时，无论数有多大，应用这些规则总会得出正确的答案。如果我们的答案错了，原因一定是误用了规则。没有人会怀疑算法本身。
算法必须是确切的。“如果你在树林里迷路，保持冷静，调动常识，走一步看一步。”这是建议而非算法。童子军的条例就不同：如果你在树林里迷路了，一直往低处走，直到溪流旁，然后顺流而下，最后你会到达一个城镇。这就是一个算法。
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给出一个有效的算法是很难的。未预料到的情况将会发生，童子军的算法可能失败，这种情形不难想象。有可能处于沙漠盆地，一直往低处走会到达一个干涸的湖底，却找不到溪流。在地球上的某些偏远地区，有的溪流通向一个内陆湖或者海洋附近，附近历来没有人类住所。更糟糕的情况是，如果发现自己处于一个非常平坦的平原上，则根本就不存在明显的“低处”。此时，算法毫无用处。一个理想的算法应该在任何环境下都有效。
复杂性理论得以建立的基础，在于意识到许多更复杂的问题实际上是同一个问题。算术发源于古代人计数的问题。那时人们意识到，对小麦的蒲式耳数进行加减，与对骡子和金币的数量进行加减没什么两样。在20世纪60年代和70年代，计算机程序员面临一些问题，这些问题导致了复杂性理论的诞生。这些程序员发现，许多看起来不同的问题是相互等价的。
一条谜语、一段密码、一个拼版谜题——许多诸如此类的问题反映了科学方法的特点。通常，证实更像是解一道逻辑谜题，而非归纳模式。一个简单的概括陈述可以被任何相关的观察结果证实或反驳。但是，大多数科学理论要复杂得多，必须根据大量的观察结果进行评价。我们甚至不能说某一个特定的观察结果能单独地提供证实或反驳。
请考虑“地球是圆的”这个假说。对这个假说的证实不在于汇集许多关于“圆的地球”的观察结果，而且没有反例。实际上，人们接受“地球是圆的”这个假说，是因为它联系并解释了许多先前看来无意义的经验事实。对古代人来说，这些都是非常琐碎且没有观念的事实：在极北之地，午夜可以见到太阳；月食可以见到圆形的阴影；船只离港远去时看起来就像沉没在波涛之下。现在所有这些现象，都被视为“地球是圆的”这一假说的逻辑推论。这一假说解释了如此众多各不相关的观察结果，正因为这样，它才如此令人信服。假如事实上地球不是圆的，那么只有不可思议的巧合才能使所有这些观察结果如此协调地与这些假说一致。
这是一个更加精致的证实类型，它混合了演绎和归纳。一个能推出逻辑结论的假说，首先必须解释以往的观察结果，然后必须作出新的预言。预言如果是真的，则证实假说。归纳和演绎的相互影响是某些悖论的根源，这些悖论甚至比一般的悖论还要奇妙。
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“无限”是一个用来表示这个巨大的、我们无法完全领会的世界的符号，它是悖论中极常见的主题。悖论中经常包含着无限对自鸣得意的日常世界的冲击和威胁。在最古老的关于无限的悖论中，有一些归功于古希腊哲学家、埃利亚学派的芝诺。芝诺在一本书中记录他的悖论：善跑的阿基里斯与乌龟赛跑。乌龟在阿基里斯前面起跑，比方说，领先1米。为了追上乌龟，阿基里斯必须先跑到乌龟的出发点。当他到达这个位置时，乌龟已经往前跑了一段较短的距离——10厘米。现在，阿基里斯必须再跑10厘米才能追上乌龟，但是与此同时，乌龟又往前跑了1厘米。以上分析过程可以无穷延续，乌龟领先阿基里斯的距离会越来越短，但是阿基里斯永远也追不上乌龟。
芝诺否认无穷数列和无穷量的真实性。他认为，如果你可以表明某个东西涉及无穷，你就可以证明这个东西是不存在的。在现代人看来，芝诺的某些论证缺乏说服力。芝诺的表现就像是一个永远拒绝无穷级数的顽固而古怪的数学家。阿基里斯必须跑的距离构成了一个无穷级数，加起来等于111.111……厘米（即111又1/9厘米），这是一个有限数。所谓的“无限”只是芝诺分析的结果，并非物理意义上的无限。
无限——完全就其本意来说是不可理解的，但趋于无限的情况随处可见。在印度的传说中，什里姆国王就落入大臣西萨·本·达希尔的圈套。达希尔因为发明64个格子的国际象棋，国王要赏赐他一块金子。然而达希尔只请求国王在棋盘上的第一个方格上放1粒麦子，在第二个方格上放2粒麦子，在第三个方格上放4粒麦子，以此类推，每个方格上的麦粒数是上一个方格的两倍，直到棋盘的每一个方格都分配了麦粒。国王照办了。然而，国王吃惊地发现，第20个方格还没被满足，一袋麦子就耗尽了。他下令取来更多的麦子，最后所有的麦子都用完了。实际上，他的王国的所有麦子加起来也无法满足达希尔的要求。不仅如此，全印度乃至全世界的麦子加在一起也不够用。这个故事的寓意在于，永远不要低估几何级数，因为几何级数的增长超出世间的任何限制——对于财富或其他任何东西都是如此。
托马斯·马尔萨斯认识到，世界人口以几何级数增长，而粮食产量仅以算术级数增长，在此基础上形成了他的著名理论。马尔萨斯有理由相信，每年新开垦的农田面积是固定的，而世界人口趋向于每隔若干年增加一倍。于是，他警告说，人类增长必定超过食物供给，导致全球性饥荒。这就是所谓的“马尔萨斯灾难”。
指数级数源于“指数”这个术语。生长的有机体一般以指数增长为特征，无论是细菌的繁殖还是人类的繁衍，其共同的特征是，新增个体数与总数成正比。复利存款也呈指数增长，显然与这一事实有关：借方和贷方都是不断生长的有机体，他们创造了以指数状态增长的经济，而且，他们进行交易时依据的货币处于呈指数增长的通货膨胀中。
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悖论意义重大、影响深远，超过了其表面看起来的程度。如果某人相信一些自相矛盾的观念，那么这些观点中至少有一些是他没有理由相信的。因而，理解一组观点意味着有能力发现观念中的矛盾。所以说，发现悖论的问题是知识的界标。
在奠定艾萨克·牛顿的万有引力理论基础的因素中，没有一样是古希腊人不知道的。疾病的细菌理论原本有可能提前几个世纪提出和确立——如果某人发现了其中正确的联系。虽然所需的材料已经摆在面前，但是没有人发现组织这些事实的正确秩序。
一直以来，知识的问题始终吸引着哲学、科学乃至于文学等诸多领域中众多最聪明的头脑。哲学家把关于这个问题的研究称为“认识论”。在更严格的科学化语境里，则采用了一个比较新的名称：“证实理论”。认识论和证实理论都在研究我们如何认知我们已知的东西，探查从证据推演出有效结论的过程。
对认识过程本身的研究，不同于研究蝴蝶、星云等具体研究。证实理论在很大程度上以逻辑谜题和悖论为研究对象。对外行来说，这种说法很可能显得很奇怪，似乎意味着证实理论是对一些奇谈怪想的研究。悖论就其本质而言，是对我们观念结构中的漏洞的披露。罗素说：“检验一种逻辑理论可以看其处理谜题的能力。考察逻辑理论的时候，在脑子里积累尽量多的谜题是一个聪明的办法，因为逻辑领域中谜题的地位非常重要，其重要性相当于实验之于物理学。”
现在，我终于理解了为什么在《黑天鹅：如何应对不可预知的未来》和《反脆弱：从不确定性中获益》“不确定性”系列著作中反复出现大量有关悖论、谜题、假说和神话等一系列的重要议题，那是因为纳西姆·塔勒布全力以赴演绎着知识的界标。