文/姚斌
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老子说，道生一，一生二，二生三，三生万物。为什么前两者循序渐进，而从“三”开始可以跳跃到“万”？《三五历纪》又云：数起于一，立于三，成于五，盛于七，处于九，故天去地九万里。我们都知道，汉语表现“3”现象的成语和俗语有很多，比如“三人行，必有我师”、“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，这些都表达了一种古代的智慧，其中必然蕴含着某种玄机
视觉大师鲁道夫·阿恩海姆在《视觉思维》中指出，在童话故事里，如果讲到最小的兄弟如何战胜对手、最后取得成功，其兄弟的总数目必定是三个，因为三个哥哥的数目是展示小弟英雄的行为最合适的数目。如果出现四个兄弟，则显得多余；如果是两个兄弟，就会造成一种封闭和对称的组合，而这种组合展示的是两种极端行为之间的对比，比如善与恶、真与假或智与愚之间的对比。“3”则代表了三位一体，之所以需要三个，主要是为了再现一种交际关系而不是一种对比关系。
古典文学名著《三国演义》之所以成功，其原因也正因为“三分天下”，由此构成了一种复杂而清晰的局面。相比之下，《东周列国志》则过于杂乱，《前后汉演义》又失之简单。当存在“三方”时，彼此关系便交织在一起：或AB合作共同反对C；或AC合作共同反对B，或AC争斗，B坐收渔利。在这样的竞争格局中，任何一方都处于前狼后虎的境地，哪一方都不敢轻举妄动或倾巢而出。与此同时，任何一方都有许多可供选择的策略，而且可以随机改变策略，昔日的对手转眼之间既可以“牢不可破”也可以“势不两立”。
从复杂性的视角出发，从“三”飞跃至“万”，与当代非线性科学的理论观点不谋而合。它表明了“三”所有的涵容万有、生化万物、勾连混沌与万物、形成演化转折点的意义。对此，黄欣荣教授在《复杂性科学与哲学》中认为，“三”是代表着非线性作用的最小要素数目。在数学上，两个要素的作用是一种线性作用。线性作用在原则上是无法产生放大、涨落和涌现的现象的。
科学上的“非线性”相比于“线性”至少存在两个差别：（a）体系状态不满足均匀性和叠加性；（b）对几近相同的初始状态条件，体系可有完全不同类型的运动或完全不同的运动结局。如果世界只有线性相互作用，那么世界就不会发展得丰富多彩、变化万千。也就是说，“二”不能生万物。这就是非线性科学的结论。几乎凡是能够具有放大效应的事物，皆与“三”有关，“三”是非线性和复杂性的标志。
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当艾萨克·牛顿建立力学体系后，对天体运动的研究就进入了一个新的历史阶段，天体力学遂告诞生。牛顿创立的微积分是天体力学的数学基础。微分方程的积分描述了行星运行的轨道。于是，就可以根据运行规律，从某个初始状态出发，确定系统的未来和过去的状态。如果太阳系中只有太阳和地球(这就是二体问题)，那么地球在太阳的引力作用下，只能沿着椭圆形轨道运行，地球的运动只能依赖于与太阳的平均距离。从数学上说，二体问题是可积的，可用相对简单的数学方程描述，我们可以得到它的精确解。也就是说，二体的运动是周期性的，因而是稳定的、简单的、线性的。
然而，当针对太阳系内的其他小天体时，就生成出“限制性的三体问题”。三个天体中有一个天体的质量与其他两个相比小得可以忽略不计，这样的三体问题就叫做“限制性的三体问题”。三体问题并非二体的简单外推，因为它已经发生了质的转变。伊恩·斯图加特在《上帝掷骰子吗？》中指出，在天体力学中，二体相互作用性态良好，三体相互作用却多灾多难。由于太阳系中有许多天体，需要研究这些天体在万有引力作用下的运动规律，这就是天体力学中的“N体问题”。
三体问题是N体问题中最著名的特殊问题。物理学家亨利·庞加莱曾对此进行深入的研究，并于1889年以著名的《论三体问题和动力学方程》获得了瑞典国王奥斯卡二世颁发的奖金。庞加莱创立了一种新的定性而非定量的方法，用它来研究运动方程。他证实了有三个天体构成的系统，就可能是不稳定的了，在双曲点附近存在无限复杂的“栅栏结构”。
庞加莱的发现表明，即使像限制性三体这样简单的系统，也会产生极其复杂的行为。实际上，这就是后来所说的“混沌”。斯图加特说，庞加莱在他的相交栅网中，注视着混沌的足迹。从二体到三体并不仅仅是多一体的问题，而是彻底发生了质变，从简单、稳定的系统立即变成了复杂、混沌的系统。由此可见，“三”是混沌的起点，是系统的一个临界点。
20世纪60-70年代，数学家詹姆斯·约克和他的博士生李天岩共同发现了“周期三蕴含混沌”的现象。“周期三”即“周期为三的点”。一个过程如果接连使用三次，又回到初始状态，这就是“周期三”现象。比如，三个人玩皮球，A把球抛给B，B将球抛给C，C又把球抛给A。这就完成了一个周期三循环。约克和李天岩通过迭代函数的迭代性质研究发现，当出现三个周期的时候，任何周期就都可能实现。而仅仅“周期一”或“周期二”点的存在并不引起一些波澜壮阔的事发生。
约克和李天岩的伟大发现是，只要有一个“周期三点”出现，就有数不清的初始点的“混沌轨道”出现，而且这些轨道的未来走向是不可预测的。也就是说，当函数有了周期为三的点，它必定是一个非线性并且也是非单调的函数；它的函数图像上可以有山峰，也可以有山谷。于是，一片姹紫嫣红、气象万千，一派“混沌”的满园春色就出现了。“周期三蕴含混沌”深刻地揭示了混沌现象的本质特征。约克和李天岩首创了“混沌”这一数学名词，开拓了整个数学界、科学界对混沌动力系统理论和应用研究的新纪元。
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分形理论是复杂性研究的一种几何理论，它以其研究对象的复杂和图像的美丽而格外引人注目，已经成为理解各个学科内复杂性的新语言和新工具。在分形理论中，分形学者创造了与以往传统数学和其他学科截然不同的方法，通过这些方法，人们不仅了解了以往被认为是“病态”或“非正常”的复杂性图样，而且能够通过这些方法和一些简单规则产生复杂性的样式，通过计算机模拟产生复杂极致的分形图样。其中最著名的是康托尔点集图形和科赫曲线。
康托尔点集由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入，是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。康托尔点集取一线段 (0，1)，称为初始元，将其三等分，即各线段的长度为原线段的1/3，取走中间一段，保留两侧的两段。将留下来两段分别再三等分，并取走它们中间一段，保留两侧的其余两段。以此继续分割，取走下去，留下的线段越来越多，而其长度越来越短，最终就分割成长度为无限短的无穷多个点，这些保留下来的分布开来的点组成所谓的三分康托尔点集。随着线段分为无穷多段，不仅每段的长度为零，其总长度也为零。这种三分点集比原来的一维线段的维数少，而比零维的点的维数又多，经计算，它的维数为0.6309……。
这就是为什么传统几何学把它当作怪物的原因，实际上，它就是一个最早构造出来的最简单的分形，它已经是非线性、复杂性的图形了。我们也可以同理构造出四分集、五分集等等，但不能是二分集。在此，“三”又是一个关键数字，是走向分形的关节点。康托尔“三分集”具有“自相似性”的性质，后被“分形学”引入而大放异彩。
瑞典数学家黑格·科赫于1904年提出了著名的“雪花”曲线。科赫曲线的作法是，从一条直线段开始，将每段线段等分成三段，中间一段替换为一个三角形的两条边，每一边都等于原线段的1/3。对生成的图形再次应用科赫曲线规则，分别向外作正三角形，再把底边线段抹掉，这样就得到一个六角形，它共有12条边。再把每条边三等分，以各中间部分的长度为底边，向外作正三角形后，抹掉底边线段。反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线。这曲线叫做科赫曲线或雪花曲线。反复进行这一作图过程，得到的曲线越来越精细。这条曲线具有无限的长度，但只占有有限的面积。这在传统几何学看来是一个怪物。实际上，它只是一条构造方法最简单的方形图形。
科赫曲线有着极不寻常的特性，不但它的周长为无限大，而且曲线上任两点之间的距离也是无限大。曲线在任何一点处都连续，但却处处“不可导”(没有确定的切线方向)。该曲线长度无限，却包围着有限的面积。这种奇怪的几何怪物的发现，向十九世纪的数学家提出了挑战，因为这种曲线打破了人们的直觉观念：连续曲线总能借助于铅笔的不间断移动画出来，局部曲线总是“光滑”的。但是科赫曲线提醒人们，在研究无穷过程时，直觉是一个很不可靠的向导，这种挑战迫使数学家们为其职业制定更高更严的标准，曲线的定义也需要加以修改，以适应类似这种“病态”的雪花怪物。在这里，数学“三”又是一个关键数字。它是有限线段走向无限曲线，简单线段变成复杂图形的关键步骤。
科赫曲线和康托尔的三分集一样具有自相似性。如果我们割下科赫雪花的一边，再把它的1/3部分放大三倍，就得到和原先割下的那片一模一样的图形。这就是说，科赫曲线相似性的放大因子也是“三”。于是，“三”就具有领先于一切自然数的物理意义，“三”不仅是系统走向混沌的第一关节点，而且本身就蕴含着混沌分形，是自然界造就混沌的基础。作为“无穷多”和生成演化意义的“三”，或许可以成为一个重要的宇宙常数，从而划定牛顿力学适用的第三个边界，并赋予“三生万物”的道家思想以现代科学的诠释。
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法国数学家伯努尔·曼德布罗特很早认识到自然界到处都有分形，现实世界中许多事物都有自相似结构，海岸线、山脉、雪花和树是很典型的例子。为此，他提出了“分形”一词，并设计了数学模型，科赫曲线就是其中的一个模型。他视科赫曲线为“粗糙而又生动的海岸线模型”，把它看成现实世界的一个图景，用以解释丰富多彩的自然现象。
在分形几何的世界里，如果在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。分形几何是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许多尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态。
当曼德布罗特将分形理论引入金融市场时，我们就可以看到分形几何为我们描绘了一个与我们熟悉的金融市场完全不同的图像：开始时是平静的、一切都在有序的轨道上运行的混乱系统，然后被混乱的事件和股价的突然爆发所打断。在分形世界里，金融市场是一个混沌、无序、不确定和大量的统计怪物的中心，是纯粹的混沌世界。混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测。
传统理论认为，金融市场是一个受正态分布法则制约的世界。大多数股价波动都好像属于“正常”的范围内，金融市场也会出现一个类似的、统计学的的正态分布，即有很多小幅度的股价波动，以及很少大的股价波动。因此，貌似可预测，并且可掌控。
但是，在分形几何学的眼里，金融市场并非如此，恰恰相反，它们充满了涡流，其运动不是正态分布的，而是混乱和不可预测的。如果这种假设是正确的话，那么金融市场就比常规理论承认的要更具风险，而对这种狂暴的、没有约束的波动进行预测或多或少都是不可能的。在很多事件中，价格波动比我们在统计学的正态分布下可期待的和平均的价格变动要大十倍，呈现出典型的幂律分布。而在传统理论和实际运用中，人们把金融市场的突然爆发视为异常，认为那是特殊情况，是不正常的，所以把这些点排除在模型之外。其实，这是一个很严重的错误。
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体育界所谓的“三振出局”源自棒球运动在两击之后的情况。投球手投出第三个球，有以下三种情况：（a）投球手投出第三个球为好球，击球员没有挥棒，球在落地之前直接被捕手接到；（b）投球手投出第三个球，击球员挥棒落空，球在落地之前直接被捕手接到；（c）投球手投出第三个球，击球员挥棒成擦棒球，球在落地之前直接被捕手接到。以上三种情况击球员即被判“三振出局”，或者说“三击不中”，接杀出局。
在投资领域，一些投资大师喜欢以“三振出局”隐喻投资失败。霍华德·马克斯的《投资最重要的事》中指出，再也没有比在崩盘期间从不顾价格必须卖出的人手中买进更好的事了。我们许多最好的交易都是在这时候完成的。这样的事只在罕见的极端危机时才会出现。既然从强制卖家手中买进是世界上最美妙的事，那么保证自己能够在最艰难的时期坚持住是非常重要的。
他认为最好的投资者需要具备以下特征：敬畏投资、要求物有所值和高错误边际，知所不知，知所不能。防守能取得较好的稳定收益，当然也会错过热门并且越来越热门的东西，它会让你无所事事。你可能比其他投资者打出更少的本垒打，但是你被三振出局或双杀出局的可能性也会更少。如果不犯错误，致胜投资自然来。
而所谓的进攻是通过风险承担争取致胜，但这是一个高强度活动。它可能会带来收益，也可能带来损失。捕鱼的水域挑战性越大，潜在收益越大，越有可能吸引经验丰富的渔夫。一个投资者除非掌握的技术具备充分的竞争力，否则极有可能成为牺牲者而不是胜利者。因此，一定不要主动进攻、承担风险、碰触有技术挑战性的领域。
霍华德·马克斯在过去35年里注意到最奇怪的事情之一是，那些“最优秀”投资者的投资生涯都非常短暂。他们原想“本垒打”却被“三振出局”而消失。确实，投资的一个困难在于，你认为你的决策很正确，但却无法通过结果来判断。好决策指的是决策当时的最佳决策。然而，考虑到分形的结果，影响决策正确性的事件事先是无法预知或量化的。因此，正确的决策往往是不成功的，反之亦然。当我们将分形理论植入霍华德·马克斯的论断时，就可以得到一个深刻的洞见。