概率和期望值对理性决策的影响
我们经常讲，做投资就要做大概率的事。其实，这句话并不完全正确，因为我们做决策时需要考虑的不仅仅是概率，还有赔率。
从理性角度考虑，我们思考下面两个问题：
1、 大概率的事情就值得做吗？
2、 小概率的事情就不值得做吗？
先看一个例子：
例一、如果一个箱子里一共有100个球，其中白球99个，黑球1个。
1 摸到白球赢1块钱，摸到黑球就输1块钱。你玩不玩？
2 摸到白球赢1块钱，摸到黑球输1000块。你玩不玩？
3 摸到白球赔1块钱，摸到黑球赢1000块。你玩不玩？
4 付费购买摸球的机会。摸到白球就可以赢2块钱，摸到黑球没有收获。你愿意付出多少钱摸一次？
5 付费购买摸球的机会。摸到黑球就可以赢200块钱，摸到白球没有收获。你愿意付出多少钱摸一次？
很明显，摸到白球的概率大。
对于这种游戏，我们玩或者不玩的决策依据是什么呢？
这里就要引出一个重要概念了：期望值。
期望值＝ 可能赚钱的数额 × 赚钱的概率 － 可能赔钱的数额 × 赔钱的概率
对于①，摸到白球赢1块，摸到黑球输1块。理性的选择肯定是玩，而且要长期玩。因为长期来看，这就是一个稳赚不赔的生意。
对于②和③，赌注刚好反过来了，我们该如何决策呢？
先说②，摸到白球赢1块，黑球输1000。我们随便摸一个球，白球的概率是99%，黑球的概率是1%，也就是说，我们有99%的可能赚1块钱，有1%的可能亏1000块。那综合而言，我们赚的钱是：99%×1 -1%×1000 ＝ -9.01。这个数表示什么意思呢？他表示没玩一次，我们预期就要亏9.01元，所以我们不能玩这个游戏。可能你要说，你玩了10次，赢了10块钱。那我的解释是，你的运气比较好。赢的这10块钱完全是运气，如果完全凭能力的话，你应该亏掉90.1元。我们应该要搞清楚，我们赚的钱中，哪些是运气带来的，哪些是能力带来的。
再说③，摸到白球赔1块，黑球赢1000。那么理论上，我们每玩一次，获利期望值是9.01元，所以应该一直玩下去。
可能你玩了10次，赔了10块钱，那属于运气带来的额亏损，并不影响这个结论，只要一直玩下去，每次获利就是9.01元，这属于能力的钱。
对于④，摸到白球赚2块钱，摸到黑球啥也没有。那么我们每次玩的预期收获为：99%×2＝1.98元。所以，我们每次玩理论上都可以获利1.98元。如果要花钱购买摸一次球的机会的话，那么我们愿意支付的价格理应小于1.98元，才能保证我们有利可图。当需要我们支付2元的话，理性的考虑，我们就没必要玩了。当然，你也可以选择玩，那就纯属靠运气赌博了，和理性无关
对于⑤，摸到黑球赚200块钱，摸到白球啥也没有。那么我们每次玩的预期收获为：1%×200＝2元。所以，我们每次玩理论上都可以获利2元。如果要花钱购买摸一次球的机会的话，那么我们愿意支付的价格理应小于2元，才能保证我们有利可图。当每次摸奖机会的价格在2元以上的时候，理性的决策是，不玩。当然，你也可以选择玩，但是那就相当于赌博碰运气了，和理性无关。
例二、抛硬币的游戏。让你押注朝上的是哪一面。
① 正面赚1块，反面赔1块。你要不要玩？押哪面？
② 正面赚2块，反面赔1块。你要不要玩？押哪面？
③ 正面赚2块，反面赔1块。你要不要玩？押哪面？愿意支付多少钱购买一次抛硬币的机会？
先说①，理论上来说，正反面的概率都一样，都是50%，然后输赢的金额也都一样，所以，理性的决策是不玩。当然，如果你要娱乐的话，那是另一回事。
再说②，正面赚2块，反面赔1块。那么我们押正面，每玩一次的预期收益是：50%×2－50%×1＝0.5 元。即：每玩一次，获利0.5元。所以，我们应该玩，而且应该押正面。
再说③，正面赚2块，反面赔1块。那么我们押正面，每玩一次的预期收益是：50%×2－50%×1＝0.5 元。即：每玩一次，获利0.5元。所以，我们应该玩，而且应该押正面。如果购买抛硬币的机会需要支付0.5元以内的话，我们有利可图，可以玩。如果支付成本在0.5元以上的话，那么从理性的角度考虑，我们应该拒绝玩这个游戏。
所以，我们能否参与游戏，不是由概率决定，而是由期望值和我们的成本决定。
下面我们来看一个比较经典的简化例子：福利彩票 和 违法犯罪。
假设有500万个号码，里面只有一个500万的大奖。那么每注彩票的预期收益为1元。如果每注彩票卖2元的话，那么投注者铁定亏钱。所以，理性的人是不会参与这种游戏来赚钱的。当然，如果是纯属娱乐消费，那就另当别论。那可能有人就会说，我就买了一个号码，就中了500万。我的解释是，即便你中了500万，也不代表“不参与”的决策是错的，只代表你的运气爆棚。
另外还有一个例子，有些人做一些违法犯罪的生意（比如贩毒），来获利赚钱。那么这个生意的成功概率是多少呢？长期玩下去，必被抓，成功概率假设为1%，被抓的概率为99%。假设你成功了，能赚1000万。如果被抓了可能死刑，至于死刑的损失如何量化呢？每个人都有自己的定义。那么，这个生意获利的期望值为：1%×1000－99%×死刑＝10-99%×死刑。 也就是说，这个生意获利的期望值最大也就是10万元。冒着生命危险去赚那10万块，是否划算，理性人都能做出判断。
所以，决定一个事情值不值得做，不仅仅和胜率有关，也和赔率有关。具体得看“获利期望值（也叫项目价值）－
参与成本”的正负来决定。
用于股票市场，就有下面的问题：
①当前价格买入，上涨的概率是多少？能涨多高？
②当前价格买入，下跌的概率是多少？能跌多少？
假设10块钱买入，有70%的可能上涨到30元，有30%可能跌到5元。那么这个交易的获利期望值是：70%×20－30%×5＝14－1.5＝12.5 ，所以有利可图，可以买入。当然，实际交易中，这种概率和赔率都很难具体量化计算出来，只能大概估计，这也是实际操作中的难点。
总结：
并非大概率的事情就能做，也不是小概率的事情就不能做。我们的决策依据应该是由获利期望值与成本决定的，而获利期望值是由胜率、赔率共同决定的。
期望值＝ 可能赚钱的数额 × 赚钱的概率 － 可能赔钱的数额 × 赔钱的概率
我们能否参与游戏，不是由概率决定，而是由期望值和我们的成本决定。